Augustin Fruchard ; Reinhard Schäfke - Développements asymptotiques combinés et équations aux différences

arima:1986 - Revue Africaine de Recherche en Informatique et Mathématiques Appliquées, 1 août 2015, Volume 20 - 2015 - Numéro spécial - Colloquium en l'honneur d'Éric Benoît - https://doi.org/10.46298/arima.1986
Développements asymptotiques combinés et équations aux différencesArticle

Auteurs : Augustin Fruchard 1,2; Reinhard Schäfke ORCID3

[en]
Difference equations in the complex domain of the form y(x+ϵ)−y(x)=ϵf(y(x))/y(x) are considered. The step size ϵ>0 is a small parameter, and the equation has a singularity at y=0. Solutions near the singularity are described using composite asymptotic expansions. More precisely, it is shown that the derivative v′ of the inverse function v of a solution (the so-called Fatou coordinate) admits a Gevrey asymptotic expansion in powers of the square root of ϵ, denoted by η, involving functions of y and of Y=y/η. This also yields Gevrey asymptotic expansions of the so-called Écalle-Voronin invariants of the equation which are functions of epsilon. An application coming from the theory of complex iteration is presented.

[fr]
On considère des équations aux différences dans le plan complexe de la forme y(x+ϵ)−y(x)=ϵf(y(x))/y(x). Le pas de discrétisation ϵ>0 est un petit paramètre, et l'équation a une singularité en y=0. On décrit les solutions près de la singularité en utilisant des développements asymptotiques combinés. Plus précisément, on montre que la dérivée v′ de la fonction réciproque (appelée coordonnée de Fatou) v d'une solution admet un développement asymptotique Gevrey en puissances de la racine carrée de ϵ, notée η, et faisant intervenir des fonctions de y et de Y=y/η. On obtient également des développements asymptotiques Gevrey des invariants d'Écalle-Voronin de l'équation, qui sont des fonctions de ϵ. Une application venant de la théorie de l'itération complexe est présentée.


Volume : Volume 20 - 2015 - Numéro spécial - Colloquium en l'honneur d'Éric Benoît
Publié le : 1 août 2015
Soumis le : 20 janvier 2015
Mots-clés : [INFO]Computer Science [cs], [MATH]Mathematics [math], [en] Difference equation with small step size, composite asymptotic expansion, Gevrey asymptotic, Fatou coordinate, Écalle-Voronin invariant.; [fr] Équation aux différences à petit pas, développement asymptotique combiné, asymptotique Gevrey, coordonnée de Fatou, invariant d'Écalle-Voronin.

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