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Augustin Fruchard ; Reinhard Schäfke - Développements asymptotiques combinés et équations aux différences
arima:1986 - Revue Africaine de Recherche en Informatique et Mathématiques Appliquées, 1 août 2015, Volume 20 - 2015 - Numéro spécial - Colloquium en l'honneur d'Éric Benoît - https://doi.org/10.46298/arima.1986
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- 1 Laboratoire de Mathématiques Informatique et Applications
- 2 Laboratoire de Mathématiques Informatique et Applications [UHA]
- 3 Institut de Recherche Mathématique Avancée [IRMA]
On considère des équations aux différences dans le plan complexe de la forme y(x+ϵ)−y(x)=ϵf(y(x))/y(x). Le pas de discrétisation ϵ>0 est un petit paramètre, et l'équation a une singularité en y=0. On décrit les solutions près de la singularité en utilisant des développements asymptotiques combinés. Plus précisément, on montre que la dérivée v′ de la fonction réciproque (appelée coordonnée de Fatou) v d'une solution admet un développement asymptotique Gevrey en puissances de la racine carrée de ϵ, notée η, et faisant intervenir des fonctions de y et de Y=y/η. On obtient également des développements asymptotiques Gevrey des invariants d'Écalle-Voronin de l'équation, qui sont des fonctions de ϵ. Une application venant de la théorie de l'itération complexe est présentée.