Dans cet article, on va établir de façon très simple, presque sans analyse complexe, la première condition de style Matkowsky nécessaire pour qu'une solution soit un canard avec singularités. Le but est d'étudier des équations différentielles singulièrement perturbées analytiques présentant un point tournant. Des illustrations numériques sont présentées.
On considère le problème d'estimer les coefficients d'un système d'équations différentielles quand une trajectoire du système est connue en un petit nombre d'instants. On utilise pour cela une méthode de Monte Carlo très simple, la méthode de rejet qui ne fournit pas directement une estimation ponctuelle des coefficients comme le font les méthodes déterministes mais plutôt un ensemble de valeurs de ces coefficients qui sont cohérentes avec les données. L'examen des propriétés de cette méthode permet de comprendre non seulement comment bien choisir les différents paramètres de la méthode lorsqu'on l'utilise mais aussi d'introduire une méthode plus efficace, en deux étapes, que nous appelons la méthode de rejet séquentielle. Plusieurs exemples illustrent les performances respectives de la méthode d'origine et de la nouvelle méthode.
Cet article traite de systèmes lents-rapides et constitue en quelque sorte une première approche pour étudier un problème général, celui d'explorer les possibilités de bifurcations qui présentent un changement brutal au niveau du portrait de phase pour un très petit changement de paramètre (de l'ordre de 10−7 dans l'exemple présenté ici). Nous présentons des preuves de l'existence d'une perte brutale de stabilité de ce type sur un exemple spécifique dans un cadre de perturbations singulières. Cet exemple est fortement inspiré de l'explosion de cycles canards initialement découverte par E. Benoît, J.-L. Callot, F. Diener et M. Diener. Après une présentation du cas intégrable que l'on souhaite perturber, nous apportons une preuve numériques de cette perte brutale de stabilité obtenue en utilisant la continuation numérique. Nous discutons ensuite la possibilité d'estimer précisément la valeur de paramètre pour laquelle cette bifurcation se produit.
On considère des équations aux différences dans le plan complexe de la forme y(x+ϵ)−y(x)=ϵf(y(x))/y(x). Le pas de discrétisation ϵ>0 est un petit paramètre, et l'équation a une singularité en y=0. On décrit les solutions près de la singularité en utilisant des développements asymptotiques combinés. Plus précisément, on montre que la dérivée v′ de la fonction réciproque (appelée coordonnée de Fatou) v d'une solution admet un développement asymptotique Gevrey en puissances de la racine carrée de ϵ, notée η, et faisant intervenir des fonctions de y et de Y=y/η. On obtient également des développements asymptotiques Gevrey des invariants d'Écalle-Voronin de l'équation, qui sont des fonctions de ϵ. Une application venant de la théorie de l'itération complexe est présentée.
Le modèle de Rosenzweig-MacArthur est un système de deux équations différentielles utilisé en dynamique des populations pour modéliser la relation entre un prédateur et sa proie. Pour certaines valeurs des paramètres le système différentiel possède un cycle limite unique stable. Lorsque la dynamique de la proie est plus rapide que celle du prédateur, durant les oscillations le long du cycle, la densité des proies atteint des valeurs tellement petites qu'elle ne peut modéliser une situation issue du monde réel. Ce phénomène est connu sous le nom du problème "atto-fox". Dans cet article on suppose que les populations sont réparties entre deux patches et qu'elles peuvent migrer de l'un à l'autre. Nous donnons des conditions qui assurent que la migration va empêcher la densité des proies de devenir trop petite.
Le but de cet article est d'étudier les effets de comportements agressifs dans l'acquisition de ressources sur la dynamique d'une population structurée en deux classes d'âge. Nous considérons une population divisée en deux sous populations distinctes (immatures et adultes matures). Nous supposons que la survie individuelle de la population immature est densité dépendante. Nous supposons également que les individus matures sont en compétition pour acquérir les ressources nécessaires pour leur survie et leur reproduction. Les adultes utilisent deux tactiques comportementales (faucon et colombe). Lors de confrontations entre adultes, la survie d'un individu mature est supposée être affectée par le coût moyen des combats alors que la fécondité dépend du gain moyen obtenu en accédant à la ressource. Notre modèle comprend deux parties : une partie rapide qui décrit les rencontres et les combats basée sur les équations du réplicateur, et une partie lente qui décrit les effets à long terme des tactiques conflictuelles sur la dynamique de la population. L'existence de deux échelles de temps nous permet d'étudier le système complet à partir d'un système réduit, qui décrit la dynamique des densités totales des immatures et des adultes à l'échelle de temps lente. Notre analyse montre que le taux de croissance global de la population dépend de la valeur de la ressource et du coût des combats entre adultes. […]
Nous proposons un modèle d'infection par Wolbachia d'une population d'Aedes aegypti. Ce modèle est conçu pour prendre en compte à la fois l'histoire naturelle de cette infection et aussi l'introduction de données disponibles obtenues expérimentalement sur le terrain. Nous donnons un analyse complète du modèle ainsi que le taux de reproduction de base R0 pour Wolbachia. On observe un phénomène de bistabilité. Deux équilibres sont stables : un équilibre où toute la population est non infectée et un équilibre où toute la population est infectée. Un troisième équilibre (instable) existe. On donne des bornes inférieures pour l'équilibre recherché de complète infestation. On est dans une situation de bifurcation rétrograde. Cette situation de bistabilité est obtenue avec les valeurs des paramètres biologiquement normales.
L'article est consacré à l'étude de variétés lentes intégrales de stabilité variable. L'existence de canards non périodiques, de cascades de canard et des cygnes noirs est établie. Les développements théoriques sont illustrés par plusieurs exemples.
Nous étudions le problème de la frontière libre dans le contexte non-standard de discrétisations infinitésimales de l'équation de la chaleur. En particulier nous prouvons des résultats de régularité des solutions et de la frontière libre, en termes de S-continuité et de S-dérivabilité.
Partant de son travail Mathematics of Infinity (1989), Martin-Löf a développé l'idée d'un lien conceptuel profond entre les notions de suite de choix et d'objet mathématique nonstandard. Précisément, il a défini une extension nonstandard de la théorie des types en ajoutant une série d'axiomes nonstandard conçue comme une sorte de suite de choix. Enfin, dans une communication de 1999, il a présenté les grandes lignes d'une théorie des types nonstandard plus générale et munie d'un fort contenu computationnel. Le présent travail est une tentative de donner un développement complet d'une théorie de ce genre. Cependant, dans le but de garder un fort contrôle sur la théorie résultante et notablement pour éviter quelques problèmes en rapport avec l'égalité définitionnelle, le champ des axiomes nonstandard est moins général que ceux proposés dans sa communication de 1999. L'étude présente est poussée jusqu'à l' introduction d'une notion de proposition externe qui joue le même rôle que les propriétés externes si utiles dans l'analyse nonstandard usuelle. Du fait que ce texte débute par une introduction à la théorie des types de Martin-Löf, il peut intéresser les mathématiciens non familiers avec ce sujet.
