Les amis de Claude Lobry ont organisé du 10 au 14 septembre 2007 à l’université Gaston Berger de Saint Louis une conférence en son honneur. Les apports scientifiques de Claude Lobry ont été non seulement multiformes et pluridisciplinaires, mais il a souvent été un précurseur dans nombre d’activités. Cette conférence s’est tenue en Afrique, à la demande des mathématiciens africains, en raison de l’activité particulière de Claude Lobry pour le développement des mathématiques en Afrique depuis sa prise de fonction comme Directeur du CIMPA en 1995 jusqu’à nos jours. Son livre « Les mathématiques : une nécessité pour le développement » est un vibrant plaidoyer pour le développement des mathématiques en Afrique
On montre ici que Claude Lobry, ne peut s’empêcher de faire à la fois des mathématiques et de développer des actions pour promouvoir une certaine façon de faire des mathématiques.
Cet article traite d’un thème auquel Claude Lobry s’est longtemps intéressé : quelle est la nature des mathématiques motivées par les sciences biologiques ? Il commence par exposer les opinions subjectives de l’auteur, illustrées pas une application des plus simples démontrant qu’il est possible de produire des évolutions cycliques à partir de simples hypothèses (contraintes de viabilité et d’inertie) pour produire des évolutions cycliques, sans faire appel aux équations différentielles périodiques. Il n’est pas impossible que ce point de vue soit étranger à une explication du fonctionnement des horloges biologiques (ou des cycles économiques dans un autre domaine).
Cet article tutoriel traite de la conception de modèles de bioréactions macroscopiques sur la base d’une analyse quantitative du métabolisme cellulaire sous-jacent. L’article commence par un rappel de deux techniques algébriques fondamentales pour l’analyse quantitative des réseaux métaboliques : (i) la décomposition des réseaux métaboliques complexes en chemins élémentaires (ou modes élémentaires), (ii) l’analyse des flux métaboliques qui vise à calculer la totalité des flux métaboliques intracellulaires à partir d’un ensemble limité de mesures. On montre ensuite comment ces deux techniques peuvent être exploitées pour concevoir des modèles minimaux de bioréactions en utilisant une approche systématique de réduction de modèle qui produit automatiquement une famille de modèles minimaux équivalents compatibles non seulement avec les données expérimentales mais aussi avec le métabolisme sous-jacent. La théorie est illustrée avec une étude de cas expérimentale sur des cellules CHO.
Les microalgues calcifiantes jouent un rôle clé dans le piégeage du CO2 atmosphérique d’origine anthropique en précipitant du carbonate de calcium qui sédimente au fond des océans. Toutefois, des expériences en laboratoire ont suggéré que cette activité biologique pourrait être diminuée par l’augmentation de la pression partielle de CO2 (pCO2) dans les océans qui a tendance à s’ équilibrer avec celle de l’atmosphère. Dans ce papier, nous concevons des modèles dynamiques pour essayer de simuler la diminution des taux de calcification et de photosynthèse observés chez Emiliania huxleyi après une hausse de la pCO2 reproduite en chémostat. Comme les mécanismes physiologiques impliqués sont encore loin d’ être complètement élucidés, nous considérons différents modèles, chacun d’eux étant basé sur une hypothèse biologique différente. Ces modèles, construits en utilisant des fonctions génériques pour caractériser les processus de croissance et de calcification, peuvent être analysés indépendamment de la forme exacte de ces fonctions et de la valeur des paramètres. L’ étude s’appuie donc sur ces fonctions génériques où la seule hypothèse est une régulation de ces taux par une des trois formes qui composent la totalité du carbone inorganique dissous : le CO2, les carbonates et les bicarbonates. Il s’en suit que chaque modèle réagit différemment à une élévation de la pCO2. Contrairement aux hypothèses […]
Le travail que nous présentons ici est un résumé de quelques résultats récents obtenus dans [1, 2, 3, 5] concernant les modèles intra-hôtes multi-compartimentaux. Il s’agit d’une analyse mathématique et globale des modèles intra-hôtes de paludisme et de V.I.H . Mais avant de présenter ces résultats, nous rappelons d’abord la méthode de calcul développée par Van Den Driessche[71] concernant le taux de reproduction de base R0 car c’est cette méthode qu’utilisent les auteurs dans leur analyse. Ces modèles sont dits de Anderson-May-Gupter dont le modèle original est considéré comme précurseur. Une formule simple est donnée ici pour le calcul de R0 dans les modèles étudiés. Les résultats que nous rappelons ici sont obtenus pour un modèle du paludisme à un génotype de parasites et k classes d’âge, le modèle général à n génotypes de parasites et k classes d’âge, un modèle S E1 E2 · · ·En I S avec une chaîne linéaire de parasites et enfin le modèle général S Ei1 Ei2 · · ·Ein I S avec k chaîne linéaire de parasites. Lorsque R0 1, les auteurs montrent qu’il existe un point d’équilibre évident, le DFE (Disease Free Equilibrium) qui est GAS (globalement asymptotiquement stable) sur l’orthant positif. Lorsque R0 > 1, ils montrent l’existence d’un unique équilibre endémique dans l'orthant positif et moyennant une petite condition ils montrent que cet équilibre est globalement asymptotiquement stable.
Nous considérons un modèle proie-prédateur exprimé sous forme de système de réaction diffusion. En absence de diffusion, le système étudié est de type Holling-type-II et la réponse fonctionnelle une forme modifiée du terme de Leslie-Gower. Dans cet article, nous nous intéressons à l’analyse qualitative des solutions , l’étude des bifurcations et la formation de motifs spatio-temporels.
La modélisation probabiliste et l'inférence bayésienne computationnelles rencontrent un très grand succès depuis une quinzaine d'années grâce au développement des méthodes de Monte Carlo et aux performances toujours croissantes des moyens de calcul. Au travers d'outils comme les méthodes de Monte Carlo par chaîne de Markov et les méthodes de Monte Carlo séquentielles, l'inférence bayésienne se combine efficacement à la modélisation markovienne. Cette approche est également très répandue dans le domaine de l'écologie et l'agronomie. Nous faisons le point sur les développements de cette approche appliquée à quelques exemples de gestion de ressources naturelles.
On observe parfois des oscillations pendant la croissance de cellules dans un chémostat. Nous proposons ici deux modèles autonomes simples de croissance cellulaire (en dimension trois) basés sur des hypothèses réalistes, structurés en stades (les cellules matures et les cellules immatures) : le premier modèle est écrit en nombre de cellules, et peut présenter des oscillations. Le deuxième modèle est écrit en biomasse, et n’admet pas d’oscillations à cause de la conservation de la masse. Nous étudions les deux modèles. Cet article est dédié à Claude Lobry, qui a participé aux premières étapes de l’écriture des modèles.
On utilise un découplage récemment mis en évidence des équations d’Isaacs d’un jeu différentiel pour des stratégies mixtes singulières particulières pour donner une analyse assez complète d’un problème classique en écologie comportementale concernant le conflit à propos des soins parentaux.
Dans le processus d’élaboration d’un modèle on insiste beaucoup sur la nécessité de confronter le modèle à la réalité qu’il est sensé représenter. Il est un autre aspect de la modélisation, à mon avis tout aussi essentiel, dont on ne parle pas. Il s’agit d’un travail logico-linguistique où des modèles formels sont utilisés pour produire des prédiction qui ne sont pas confrontées à la réalité mais servent à falsifier des affirmations qui semblaient pourtant se déduire du modèle. Plus précisément un premier modèle informel est décrit dans la langue naturelle et, toujours dans la langue naturelle, semble dire quelques chose mais de façon plus ou moins claire. Alors on traduit le modèle informel en un modèle formel (mathématique ou informatique) où ce qui était argumentation devient démonstration. Le modèle formel sert ainsi à lever des ambiguïtés de la langue naturelle. Mais inversement un texte trop formalisé perd rapidement tout sens pour un cerveau humain ce qui rend nécessaire le retour à une langue moins formelle. Ce sont ces “traductions" successives entre langues plus ou moins formelles que je cherche à analyser sur deux exemples, le premier en dynamique des populations, le second en mathématiques.
Les modèles de dynamique de populations peuvent prendre en compte un nombre important de paramètres et de variables, ce qui les rend difficiles à analyser. Lorsqu’il existe des processus associés à deux échelles de temps différentes, une lente et une rapide, les méthodes d’agrégation de variables permettent de construire un modèle simplifié qui comporte un nombre plus faible de variables. Elles permettent ainsi d’analyser et de décrire un système de manière globale. Nous présentons ces méthodes dans le cas de modèles discrets, puis nous illustrons leur utilisation à l’aide de modèles hôte-parasitoïdes spatialisés.
La diffusion de Feller est un processus de branchement continu. La propriété de branchement nous dit que à t > 0 fixé, indexé par la condition initiale, ce processus est un subordinateur (processus de Lévy à valeurs positives), qui est en fait un processus de Poisson composé. Le nombre de points de ce processus de Poisson s’interprète comme le nombre d’individus dont la descendance survit au cours d’un nombre de générations de l’ordre de t × N, où N désigne la taille de la population, dans la limite N --> µ. Ce fait découle de résultats récents de Bertoin, Fontbona, Martinez [1]. Nous le rapprochons de résultats plus anciens de O’Connell [7] et [8]. Ce rapprochement nous semble aider à mieux comprendre ces résultats. Cet article ne contient pas de résultat nouveau.
Nous montrons que la coexistence entre différentes espèces en compétition sur une même ressource peut durer sensiblement, lorsque leurs courbes de croissance sont arbitrairement proches. Le comportement transitoire est analysé en termes de dynamiques lente-rapide. Nous prouvons que des espèces non dominantes peuvent d’abord croître avant de décrroître, en fonction de leurs proportions initiales.
Nous dérivons les équations de Saint-Venant complètes avec la formulation hauteur-débit. La viscosité est prise en compte dans le modèle. Pour le système linéarisé, l’existence et l’unicité de solution globale est montrée. Des resultats numériques sont présentés aussi bien dans le cas linéaire que non linéaire.
Dans ce travail présenté au colloque scientifique organisé en l’honneur de Claude Lobry nous nous focalisons sur une approche structurelle des systèmes qui a été le fil conducteur de beaucoup de nos travaux. Les capacités de modélisation de cette approche et la puissance de l’outil graphique associé sont mises en lumière. A titre d’illustration on considère le problème de rejet de perturbations par retour de mesure en utilisant des outils géométriques et graphiques.
Il est courant de transformer un problème, donné sous forme d’EDP elliptique de second ordre, en un problème intégral de point fixe, et ce en utilisant la fonction de Green. En général, les intégrales intervenant dans une telle formulation, sont de maniement difficile. Lorsqu’il s’agit de l’opérateur du Laplacien sur des boules de Rn, nous montrons l’existence d’une fonction de Green à symétrie radiale; elle permet, moyennant des hypothèses adéquates sur la non linéarité, de faciliter l’usage de la Formule de représentation de Green; nous donnons trois exemples d’application.
Dans ce travail nous nous sommes intéressé à un problème d’identification d’un coefficient de Robin (ou une impédence) à partir de mesures effectuées sur une certaine partie de la frontière d’un domaine. Ce problème est motivé par le contrôle non destructif des matériaux en tomographie par impédance électrique. L’impédance peut fournir des informations sur l’emplacement d’une zone de corrosion, ainsi que sur l’étendue des dommages, qui a peut-être eu lieu sur une partie inaccessible de la frontière. Deux algorithmes d’identification sont présentés et étudiés: le premier est basé sur la minimisation des fonctionnelles d’écart énergétiques, dite de Kohn et Vogelius, comme pour le second, il fait usage à l’approximation dans les classes de Hardy afin de prolonger les données de Cauchy à la partie inaccessible de la frontière, puis calculer le coefficient de Robin qui est le quotient de ces données étendues. L’accent est mis sur la robustesse par rapport au bruit, à la fois d’un point de vu mathématique et numérique. Des expériences numériques sont finalement présentées et comparées.
Un système de deux équations de Van der Pol généralisées et couplées est proposé comme un modèle de commande pour l’instabilité de combustion. Ce système est analysé en utilisant la méthode de Krylov-Bogoliubov. Les aspects de commande conduisant à l’extinction des oscillations sont examinés. Les résultats de l’analyse sont comparés avec des tests en simulation.
Ce papier décrit plusieurs méthodes utilisées par les physiciens pour la manipulation d’états quantiques. Pour chaque méthode, nous expliquons la modélisation, les diverses échelles de temps, les approximations faites et nous proposons une interprétation en termes de contrôle. Ces diverses interprétations servent de base à la formulation de questions ouvertes sur la commandabilité et aussi sur le feedback et l’estimation, renouvelant un peu certaines questions de base en théorie des systèmes non-linéaires. Pour les systèmes à deux niveaux, dits aussi de spin 1/2, il s’agit: des oscillations de Rabi et d’une approximation au premier ordre de la théorie des perturbations (transition à un photon); des corrections de Bloch-Siegert et d’approximation au second ordre; de commandabilité et de robustesse paramétrique pour des contrôles en boucle ouverte, robustesse liée à des questions largement ouvertes sur la commandabilité en dimension infinie où le spectre est continu. Pour les systèmes à trois niveaux, il s’agit: de pulses Raman; d’approximations au second ordre. Pour les systèmes spin/ressort, il s’agit: des systèmes composés de sous-systèmes à deux niveaux couplés à des oscillateurs harmoniques quantifiés; de théorie des perturbations à plusieurs fréquences en dimension infinie; de commandabilité d’équations aux dérivées partielles de type Schrödinger sur R et affine en contrôle; de planification de trajectoires […]
L’objectif de cet article est d’étudier la stabilité exponentielle des systèmes d’échangeurs thermiques, respectivement, avec diffusion et sans diffusion, dans le cadre de l’espace de Banach réel X1 = (C[0, 1])4 muni de la norme uniforme. La stabilité exponentielle de ces deux modèles dans l’espace de Hilbert X2 = (L2(0, 1))4 a été établie dans [31] en utilisant la méthode de Lyapunov directe. La démarche entreprise ici consiste à étudier le problème de la stabilité dans les espaces de Banach réels Xp = (Lp(0, 1))4 muni de la norme Lp avec p > 1. Par passage à la limite (p ! +1) on peut dans certains cas étendre les résultats de stabilité exponentielle de Xp = (Lp(0, 1))4 à l’espace X1 = (C[0, 1])4. En effet la dissipativité du système étudié dans tous les espaces Xp entraîne sa dissipativité dans X1 (voir le Lemme 3). La première section est consacrée au rappel des modèles des échangeurs thermiques. Le processus avec diffusion se modélise par un système d’équations aux dérivées partielles du type parabolique, tandis que le processus sans diffusion est décrit par un système hyperbolique du premier ordre. La deuxième section traite de la stabilité exponentielle du système parabolique dans le cadre des espaces Lp(0, 1), 1 < p < 1. On en déduit des résultats pour l’espace X1. Néanmoins cette étude ne permet pas de déduire la stabilité du système dans X1. Les résultats de stabilité exponentielle dans Xp […]
Nous développons une théorie générale pour des équations d’évolution de type hyperbolique parabolique non linéaire à l’aide de la théorie des semi-groupes non linéaires dans les espaces de Banach. Nous établissons des résultats d’existence, d’unicité et de dépendance continue par rapport aux données d’une bonne solution du problème de Cauchy ou des problèmes aux limites associées à cette équation sous des hypothèses très générales. Avec des hypothèses complémentaires, nous montrons que cette bonne solution est une solution locale de type entropique, nous étudions également l’unicité des solutions faibles et l’existence de solution forte.
Dans le contexte de l’Analyse Nonstandard, nous étudions des équations différentielles stochastiques avec des pas infiniment petits. En particulier, nous formulons une condition nécessaire et suffisante pourqu’une solution soit presque-équivalente à un processus stochastique recombinant. La caractérisation est donnée par une équation aux dérivées partielles de la tendance et de la variance conditionnelle du processus de départ. Nous indiquons une analogie avec le Lemme d’Ito. Nous appliquons cette caractérisation au problème de la détermination d’espérances pour le processus de départ. En fait, on obtient une approximation infinitésimale en resolvant deux équations différentielles ordinaires, également de la tendance et de la variance conditionnelle de ce processus, et en calculant une intégrale de Gauss.
On démontre que le rapport signal à bruit, si important en théorie de l’information, devient sans objet pour des communications numériques où la démodulation s’effectue selon des techniques nouvelles d’estimation rapide. Calcul opérationnel, algèbre différentielle, algèbre non commutative et analyse non standard sont les principaux outils mathématiques.
Nous donnons un aperçu non exhaustif du problème du retard à la bifurcation, depuis son apparition en France à la fin des années 1980 jusqu’aux contributions les plus récentes. Le problème et les résultats sont présentés d’une part pour les équations différentielles et d’autre part pour les systèmes dynamiques discrets
Le raccordement des trajectoires de deux champs de vecteurs donnés de part et d’autre d’une courbe dans le plan, est fait d’habitude à travers des champs discontinues. On donne un modèle de lissage de ce raccordement, qui fait apparaître des phénomènes canard, dans certaines situations macroscopiquement indeterminés. On utilise un champ lent-rapide associé au modèle de raccordement, pour étudier les dynamiques dans un voisinage infinitésimal de la ligne de transition et on fait un étude comparative avec la théorie classique, notamment: mouvements glissants dans les systèmes de structure variable et contrôle équivalent.
On étudie le comportement asymptotique, lorsque le paramètre " tend vers 0, de systèmes triangulaires singulièrement perturbés de la forme x˙ = f(x, y), y˙ = G(y, "). On suppose que toutes les solutions de la deuxième équation tendent vers zéro arbitrairement rapidement quand " tend vers 0. On suppose que le système x˙ = f(x, 0) admet l’origine comme équilibre globalement asymptotiquement stable. Certaines solutions de la deuxième équation peuvent présenter un transitoire avec un pic très grand avant de décroître rapidement vers zéro. C’est ce phénomène de peaking qui peut déstabiliser la première équation. On introduit le concept de stabilité instantanée, pour mesurer la décroissance rapide vers zéro des solutions de la deuxième équation, et le concept de système uniformément infinitésimalement borné pour mesurer les effets du peaking sur la première équation. On montre que les solutions du système triangulaire tendent vers zéro quand " ! 0 et t ! +1. Nos résultats sont formulés dans le cadre de l’analyse non standard et sont traduits en termes classiques.
ans ce travail, nous donnons une présentation de la droite dite d’Harthong-Reeb. Il s’agit d’un système numérique uniquement basé sur les nombres entiers et dont la propriété frappante est qu’il est à peu près équivalent à la droite réelle continue. Sa définition nécessite l’utilisation d’un nombre naturel w qui est infiniment grand au sens de l’analyse nonstandard. Suivant l’idée de G. Reeb, nous montrons comment on peut implémenter le schéma d’Euler dans ce cadre. Alors, on obtient une représentation exacte dans la droite d’Harthong-Reeb de nombreuses fonctions réelles comme la fonction exponentielle. Puisque cette représentation est donnée au moyen d’un algorithme explicite, il est naturel de s’interroger sur la constructivité globale de ce système numérique. Dans la conclusion, nous discutons ce dernier point et nous esquissons de nouvelles directions pour obtenir des systèmes analogues dotés d’une meilleure constructivité.
On considère les systèmes lents-rapides appartenant à un petit voisinage d’un problème non perturbé. On étudie le cas général où l’équation lente admet un sous-ensemble compact positivement invariant qui soit asymptotiquement stable tandis que l’équation rapide a des équilibres asymptotiquement stables (théorie de Tykhonov) ou des cycles limites stables (théorie de Pontryagin). La description des solutions est de ce fait donnée sur des intervalles de temps infinis. On examine les problèmes de stabilité découlant de ces résultats en introduisant la notion de stabilité pratique. On montre que certains sous-ensembles de l’espace de phases des systèmes singulièrement perturbés se comportent comme des ensembles asymptotiquement stables. Les résultats sont formulés classiquement mais sont démontrés dans le cadre de la théorie IST, une approche axiomatique de l’Analyse Non Standard.
